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Chemical Reactor Design Toolbox
Reference Manual

Inhaltsverzeichnis

ChemReactorDesign.Basic.Liquid.Functions.getConc

function c = getConc(x,Vm)

Diese Funktion berechnet die Konzentrationen der Spezies aus den Molenbrüchen und den dazugehörigen Molvolumina

Die Konzentrationen in dem Liquidvolumen \(V(t)\) können über die spezifischen Volumina der Spezies aus den Molenbrüchen erhalten werden.

\begin{equation*} V = \sum_{i=1}^{N} \overline{V}_{i} \, n_{i} \end{equation*}

Division durch \(V\) führt mit

\begin{equation*} c_{i} = \frac{n_{i}}{V} \end{equation*}

dann zu

\begin{equation*} 1 = \sum_{i=1}^{N} \overline{V}_{i} \, c_{i} \end{equation*} 1

Die Konzentrationen sind mit den Molenbrüchen verknüpft nach

\begin{equation*} c_{i} = x_{i} \, \sum_{k=1}^{N} c_{k} \quad \text{für} \quad i=1,\dots,N \end{equation*}

Aufgelöst

\begin{equation*} c_{i} \left(1-x_{i}\right) - x_{i} \, \sum_{\stackrel{i \neq k}{k}}^{N} c_{k} = 0 \quad \text{für} \quad i=1,\dots,N \end{equation*}

in Matrixschreibweise

\begin{equation*} \left( \begin{array}{llll} 1-x_{1} & x_{1} & \cdots & x_{1} \\ x_{2} & 1-x_{2} & \cdots & x_{2} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_{N} & x_{N} & \cdots & 1-x_{N} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{N} \end{array} \right) = {\bf 0} \end{equation*}

Bedingt durch die Schließbedingung

\begin{equation*} \sum_{i}^{N} x_{i} = 1 \end{equation*}

sind jedoch nur \(N-1\) Gleichungen linear unabhängig. Daher wird die N-te Gleichung durch Gl.3 ersetzt und man erhält

\begin{equation*} \left( \begin{array}{llll} 1-x_{1} & x_{1} & \cdots & x_{1} \\ x_{2} & 1-x_{2} & \cdots & x_{2} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \overline{V}_{1} & \overline{V}_{2} & \cdots & \overline{V}_{N} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{N} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \cdots \\ 1 \end{array} \right) \end{equation*}

Die Lösung des Gleichungssystems1 ergibt dann den gesuchten Zusammenhang

\begin{equation*} \displaystyle c_{i} = \frac{x_{i}}{\overline{V}_{N} + \sum\limits_{k=1}^{N-1} x_{k} \big( \overline{V}_{i} - \overline{V}_{N} \big)} \quad \text{für} \quad i=1,\dots,N \end{equation*}

Fußnoten:

1

siehe das Matlab-Skript Rechnung.m